Метаморфоза Эшера, как и любое художественное произведение, может трактоваться по разному. Необходимо различать интерпретацию художественного замысла и отраженного в нем смысла.

Будем говорить о внутренней интерпретации, как о соответствии замысла, реализованного художником, некоторым содержательным утверждениям относительно механизма метаморфозы. Под внешней интерпретацией будем понимать соответствие между формальными утверждениями, полученными относительно сопоставляемой метаморфозе предметной области (феномена роста опухоли) содержательным утверждениям на интерпретированном замысле художника. Такое понимание термина "интерпретация" утверждает (с наших позиций) отраженный в замысле художника смысл. Метаморфоза выступает в качестве средства опосредования, на основании суждения о котором, мы получаем новое предположительное знание о предметной области.

Внешняя интерпретация служит инструментом постановки задач. Внешняя и внутренняя интерпретации, как и интерпретируемые объекты - метаморфоза и трансформирующийся субстрат, также находятся в отношении сходства. Но это уже отношение иного сходства - трактовок феномена (естественного процесса) и его отражения. Критерий оценки качества отношения такого сходства - истина, осознанная на практическом опыте. Внешняя интерпретация формулирует задачи поиска конкретной истины. Осознание опыта не возможно без оценки этого отношения.

Каждый может иметь свое понимание метаморфозы и, естественно, свои интерпретации, тем более, если их относят к различным предметным областям. Изучение же отношений множества возможных внутренних интерпретаций - дело искусствоведов. А мы, обсудив в предыдущей статье наше (за художника) понимание внутренней интерпретации и ее отображения на нашу предметную область, и вооружившись пониманием структуры метаморфозы и отношений на ее элементах, уделим внимание внешней интерпретации. Постараемся перенести интерпретированные утверждения на предметную область развития опухолей и получить формулировки практических задач. Но при этом необходимо иметь в виду, что высказывания на интерпретациях образуют лишь вопросительные формы о гипотезах, как конкретных объектах исследования в виде: "а нет ли в самом деле того, что интерпретируется утверждением?"

На самом деле, в реферируемом исследовании гипотезы не формулировались (исключая две, касающиеся исходных положений). Содержательные утверждения получены естественным путем последовательной обработкой данных исходного описания и промежуточных результатов математическими алгоритмами или логическими рассуждениями, независимо от метаморфозы субстрата или ее интерпретаций. Более того, удивительное сходство метаморфозы и предметной области было установлено как результат именно такой обработки, как знание, приобретенное уже после опыта - "Proof of posterior origin", после утверждения тех самых высказываний, о которых мы будем вести речь, как о гипотезах на метаморфозе! Это просто удобный рабочий прием для содержательного разъяснения того, с чем нам пришлось встретиться в исследовании, и на это мы еще раз обращаем внимание.

Знаком < * >, в дальнейшем, мы будем как префиксом, обозначать текст, требующий предельного внимания, знаком < Þ > - важный результат. Высказывания, имеющие характер гипотез, по которым здесь же даются те или иные утверждения, мы будем помечать знаком внимания " ? ", знак < ® > - "know how".

Итак, имея внутреннюю интерпретацию метаморфозы и выяснив отношения на множествах ее элементов, мы хотим в ее терминологии, интерпретировать отношения, в динамике изменения состояний, между клетками биологического субстрата и их множествами. При этом мы основываемся на существование отношений сходства между метаморфозой и предметной областью. Как говорилось выше, мы будем формулировать проблемы отношений - гипотезы, анализ которых позволил проверить утверждение о наличии или отсутствии тех или иных отношений процесса формирования клеточных сетей. Для этого постараемся найти ассоциации, как связь по принадлежности, совпадениям отображений на метаморфозе и в механизмах карциногенеза, позволяющие получить систему отношений в содержательном изложении. С другой стороны, это поможет понять и некоторые собственные свойства метаморфозы, как продукта интеллектуальной деятельности мозга.

Мы видели, что все участвующие в процессе трансформации элементы метаморфозы, преобразуясь, теряют свою первоначальную дифференцировку по аллегорической принадлежности. Это ассоциируется с потерей функциональной дифференцировки клеток биологического субстрата и интерпретируется как отражение изменений межклеточных отношений. Непрерывное изменение геометрии фигур метаморфозы, их положения и окраски, размыто превращают на системе ситуативных отношений множество четких и размытых изображений ее элементов через множество размытых отношений в четкий финитный элемент. Процесс трансформации устремляется к финитной точке по траектории кратчайшего пути. Но в динамике ситуативных отношений метаморфозы Эшера элементы, теряя свою первоначальную дифференцировку, через размытость стремятся к новым четким (и скрытным) отношениям упорядоченности, полагая это основной задачей!

? Не в этом ли скрывается смысл и тайна естественного технологического процесса озлокачествления? Теряя функциональную дифференцировку, не образуют ли множества озлокачествляемых клеток биологического субстрата иную, своеобразную и, быть может, весьма строгую систему упорядоченности ?

* ® Вот она, основная ассоциация, которую мы трудно и долго искали! Но если это так, то

? - не может ли искусственная технология разрушения такой системы упорядоченности на множествах озлокачествленных клеток, стать средством нарушения ситуативных отношений роста опухоли и, тем самым, - средством прерывания процесса?

* ® Вот он, главный вопрос, ответ на который может дать (а может и не дать?) решение главных практических задач! Ответ именно на этот вопрос является наиболее волнующим и актуальным в задаче борьбы с грозным заболеванием. Но -

? - что является в этой системе слабым звеном, определяющим возможность достижения успеха?

* ® Появление новой системы координат в изображении метаморфозы, сдвинутой и развернутой в пространстве относительно исходной, начальной системы - важнейший фактор в динамике развития процесса трансформации, его поворотная точка. Применительно к метаморфозе карциногенеза этот фактор уверенно интерпретируется как отражение феномена начала прогрессивного озлокачествления биологического субстрата. По логике вещей именно эта точка должна отражать момент гомеостазического перехода. Но -

? - ® существует ли такая "точка", обозначенная на метаморфозе, реально? Возникает ли такой феномен в субстрате как результат естественного технологического процесса? И вообще - что соответствует этой точке математической модели? Не множественное ли это специфическое новообразование субстрата? Если такой феномен существует, то как и в каком виде он физически фиксирован в субстрате? И -

? - ® отразится ли он естественным образом в процессе математического анализа клинических измерений, появится ли такая трехмерная система координат с началом именно в такой (более того - в этой) точке? И если появится, то какая мера будет отражать развитие процесса? И будет ли описание процесса на этой мере и в этой системе координат исчерпывающим? И не является ли эта особая точка тем самым звеном в системе гомеостазиса (или антигомеостазиса?), влияя на которое можно управлять ходом процесса в желательном направлении?

Важные и трудные вопросы, перечень которых можно продолжить. Но...-

- странно, но факт. И вполне закономерный. Мы уже отмечали, что число подмножеств клеток - активаторов процесса озлокачествления, фактически отмеченных на статистике клинического материала, совпадает с количеством подмножеств элементов - активаторов процесса трансформации на метаморфозе Эшера и именно в этой точке! Более того, они образуют подмножества активаторов, реализующих двунаправленную агрессивную функцию и именно это отображается постоянным взаимным угловым расположением формирующихся фигурок финитности на метаморфозе Эшера. Это было бы забавно, если бы не было так печально. Но это - серьезно, двунаправленность агрессивной функции множества клеток - активаторов процесса, соответствует одной из двух рабочих гипотез исходного состояния субстрата, "стартового" множества процесса инициализации процесса. Но это еще далеко, далеко не все, ибо -

- существует еще одно немаловажное обстоятельство, упомянутое вначале, но к которому мы должны вернуться. Оно касается предпосылок об исходной и конечной структурах аллегорического построения метаморфозы Эшера, связанных с рассмотрением ситуации преобразования одного лишь блока строений на метаморфозе, как начального, вместо множества их подмножеств, необходимого для рассмотрения процесса трансформации биологического субстрата. Отмечалось, что аллегория Эшера, отправляясь от одного блока сооружений, соответствует отражению преобразования лишь одного функционального подмножества клеток биологического субстрата и что ситуативные отношения и динамика их преобразований при рассмотрении преобразований множества их подмножеств не зависят от мощности наборов первоначальных образов, а механизмы преобразования едины.

Как показали исследования, это утверждение нуждается в уточнении. Здесь, по-видимому, может быть как минимум две отличные друг от друга трактовки в организации динамики кинетических преобразований и их отображения на метаморфозах. Первая из них связана с тем, что каждый исходный прообраз преобразуется в свой специфический финитный образ независимо от других. Это - независимая, параллельная трансформация и об этом уже упоминалось. Другая же предполагает наличие их корреляции - перекрестного, случайного (и случайно изменяющегося во времени) изменения текущих отношений сходства прообразов, влияние в ходе всего процесса трансформации изменения одного прообраза на сходство с другими и получение таким образом, смешанного финитного образа - мутанта. Скорее всего второе, применительно к элементам этой, воображенной нами метаморфозы преобразования существ, как к вспомогательному средству пояснения, все же мало вероятно (хотя летающе-плавающие существа всем известны). Но применительно к процессу трансформации множества дифференцированных клеток биологического субстрата, существование корреляции между их подмножествами вполне возможно, более того - очевидно. И это, честно говоря, и было одной (но не единственной) из побудительных причин обсуждения аллегории с плавающими тварями и летающими существами. Но учет корреляции в ее "чистом", функционально - статистическом виде, и математически и содержательно чрезвычайно осложняет и без того сложную задачу, образуя проблему, связанную с практически неразрешимой задачей получения исходной информации и требующую, кроме того, специального теоретического рассмотрения. Мы выйдем из положения полагая, что -

* - ситуативные отношения и динамика механизмов преобразований в карциногенезе не зависят от корреляции (статистической связи) первоначальных наборов прообразов трансформирующихся элементов- клеток, а целевая функция преобразования такова, что независимо от характера аллегоричности воспроизведения, механизмы трансформации всегда преследуют цель достижения финитного состояния, реализуя эту цель едиными механизмами и по кратчайшему пути.

? Но это порождает (кажущееся) противоречие: с одной стороны мы как бы и не собираемся рассматривать преобразования ситуативных отношений между подмножествами клеток различного функционального назначения. Принято считать, что клетки при озлокачествлении теряют свою дифференцировку и это, как будто бы, оправдывает нас. Но с другой стороны (и мы сами это утверждали), - дифференцировка клеток не теряется, а лишь изменяет свой характер и это связывает множество клеток в едином трансформационном процессе. В любом случае -

? - позволяет ли это пренебрегать корреляцией ситуативных отношений изменений сходства?

* ® Сформулированный выше подход может означать, что в силу природного единства элементов множеств - клеток биологического субстрата, корреляция изменений сходства подмножеств клеток различной функциональной ориентации, предшествующей процессу роста опухоли, отображается в их функциональные перегруппировки в карциногенезе, но уже механизмами групповых межклеточных взаимодействий. Множества исходного описания случайных выборок при этом, задавая исходную корреляцию элементов множеств, может не предусматривать предварительную дифференциацию клеток по их функциональной принадлежности.

® Тем не менее, истинность этого утверждения, как и высказанных выше гипотез, проверялась исследованиями кинетики изменения состояния клеточных популяций на парциальных его проявлениях с помощью подхода, использующего графовые модели активации. Деревья, отображающие развитие процессов трансформации, являются их частными случаями, определяемыми выбором обследуемого направления изменения состояний на решетке исходного описания с помощью так называемых "стрелочных" ("сагиттальных") представлений).

® Таким образом, вычисление метаморфозы по реальному биологическому субстрату может не учитывать дифференциацию наборов клеток исходного описания, по крайней мере - в первом приближении. Считается, что их корреляция на множествах задается случайными выборками. Получение множества индикаторов финитности при построении такой метаморфозы, сводится, как уже говорилось, к "параллельному" во времени и в пространстве формированию их набора, возможно - сливающегося в единый финитный элемент при объединении тех или иных множеств клеток. При этом каждый из элементов набора несет текущую информацию о функциональном происхождении прообраза. В такой вычисленной метаморфозе реализуется накопление информации, В ее отображении, как говорилось, может не быть ни аллегорических фигур, ни каких либо художественных изображений вообще, а сама метаморфоза приобретает (кроме всего прочего) еще и ярко выраженную информационную интерпретацию. Поэтому в качестве меры в карциногенезе может использоваться и информационная мера (количество информации или энтропия). Построения таких формальных геометрических фигур, быть может достаточно сложной формы, должны иметь свою строгую внешнюю интерпретацию. Тем более, что "мерность" построений превышает обычное понимание классического трехмерного пространства и приводит к весьма своеобразным и, более того, к любопытным и даже парадоксальным решениям.

* Þ  ® Из сказанного становится ясным: тайна метаморфозы биологического субстрата кроется в количественных (наиболее вероятно - в информационных на уровне генного пула) отношениях, определяющих взаимосвязи множества размытых подмножеств размытых ситуативных отношений на клеточном уровне и биофизических процессов на молекулярном уровне, и отображающих эти отношения в интерпретации динамики механизмов разрастания клеточных популяций. Анализ объекта, обладающего такими свойствами, может быть произведен аппаратом общей теории систем.

® Отсюда следует: первый шаг исследования - установить четкие границы всех видов размытостей исходного описания и тем самым конкретизировать размытости текущих отношений сходства.

Такая задача может быть решена введением естественного обобщенного показателя озлокачествления, имеющего статистическое происхождение и нечувствительного к малым отклонениям своих аргументов. Показатели, не искажающие оценки при малых вариациях своих аргументов, связанных с их размытостью - робастные (загрубленные). Но поиск достоверного робастного показателя озлокачествления - самостоятельная проблема сама по себе! И эта проблема нашла свое разрешение.

Выше мы касались вопроса активации процесса и дали ассоциативную трактовку угловому положению формирующихся фигурок метаморфозы и их окраске. Положение черных и белых фигурок метаморфозы Эшера, легко связывается с отображением уже упоминавшегося двунаправленного действия двух по разному агрессивных подмножеств клеток, активирующих процесс разрастания опухоли. Их взаимодействие отражает преобразование клеток в голые ядра на фоне аллегорических серых фигурок, которым можно приписать отображение собственно процесса активации, направленного непосредственно в центр индикатора финитности. Углы наклона фигурок определяют направленность равнодействующей изменения состояний, а формирование их окраски (черная, серая, белая и пятнистая) отражает дискретное изменение некоторого усредненного физического параметра клетки. Но -

? ® - имеет ли место в субстрате указанное двунаправленное агрессивное воздействие активации, существует ли на самом деле дискретный параметр, отраженный в окраску фигурок и если - да, то не придает ли этому параметру дискретность исходного описания важное для нас свойство "грубости" (робастности), как нечувствительности его вычисленных значений к малым погрешностям измерений параметров клеток, определяемых размытостью их изображений?

® Полагая, что доставлю читателю определенное удовлетворение, отмечу: феномен такого рода двунаправленных агрессивных воздействий активации достаточно полно описан и отображен, а обобщенный показатель озлокачествления, обладающий важнейшими для нас свойствами, определен.

Рассмотрение отношений упорядочения на метаморфозе помогает сделать еще множество различных постановок задач исследования. Выделим группу наиболее важных.

* ? ® Не существуют ли специализированные группировки, подмножества клеток, быть может и распределенные в пространстве биологического субстрата, объединенные целью своего существования, выполняющие специализированную функцию активаторов разрастания (в отличие от активаторов роста и изменения состояния)? И если существуют, то каков механизм их действия? Целенаправленно ли это действие так, как это отражается на метаморфозе? И если да, то каков характер жизнедеятельности таких клеток и их множеств, не задают ли они заранее запрограммированные цели, "закон" изменения состояния?

Можно далее говорить и о том, что вращение фигурок метаморфозы на конечном этапе процесса, формирование их окончательной окраски и разрыв, образующийся между формирующимися и сформированной фигурками, аллегорически отражают конечный, финитный этап процесса озлокачествления - раковый взрыв. Сам процесс при этом отображается как завершенный, канонический, имеющий четкие границы. Это фактор, констатирующий завершение процесса.

® Да, все эти постановки исследованы и подтверждены на математической модели процесса опухолеобразования, и эта модель, по своему существу, есть такое же аллегорическое отображение процесса, но вычисленное на реальном клиническом материале.

Несколько слов о текущей индикации процесса, как о диагностирующей процедуре на персоналиях. Строя кривые распределений для персонального субстрата (используя гистологический или цитологический материал) на любой текущей стадии процесса (что важно для практики), мы получаем одну, описывающую достигнутое текущее состояние, кривую. В клинике часто наблюдается "наложение", суперпозиция распределений - "рак на фоне дисплазии". Значение моды (а возможно, и двух мод на такой "двумодальной" кривой), численно отражает "накопленное" текущее состояние.

Отражающая текущее состояние метаморфоза "обрывается" в том сечении, которое соответствует "обнулению" функции распределения ЯЦИ для обследуемого препарата. Это сечение соответствует вновь возникающему значению распределений на растущем значении аргумента, которое может появиться только в иных препаратах, но уже и на иных клетках. Метаморфоза, построенная по такому препарату, если процесс не канонизировался, имеет динамически размытую границу, являющуюся функцией максимально наблюдаемого значения ЯЦИ озлокачествляющихся клеток

Тем не менее, для графического отображения процесса мы могли бы использовать и аллегорическую картину Эшера. Зная рассмотренное ранее соответствие, можно отображать достигнутое в процессе состояние, непосредственно "усекая" ее изображение. Однако сама по себе метаморфоза, как усредненная аллегорическая модель процесса, хотя и содержит, но не отражает в явном виде конкретной персональной информации. Художественная аллегория не представляет возможностей численно оценить степень поражения персонифицированного субстрата, компоненты изменения состояния - разрастание, направление, временные факторы динамичности процесса, а главное - резервов организма. А знание этих факторов означает возможность целенаправленного планирования действий и своевременного принятия мер по тушению начавшегося в организме катастрофического пожара.

Þ  ® Отметим, и это чрезвычайно важно: для непосредственного вычисления реальной метаморфозы биологического субстрата, как инструмента управления подавлением процесса, необходима не только специфически определенная на множествах озлокачествляющихся клеток мера, но для ее обработки должен использоваться соответствующий специфический математический аппарат.

Нам остается повторить, что метаморфоза Эшера лишь представила нам великолепную возможность интерпретировать, разъяснить сущность и выявить главные направления решения задачи. Ее истинность, этимология очевидны. Однако остается непознаваемым и необъяснимым какие сопоставления, какие логические механизмы мышления, внутренней интерпретации, какие творческие ассоциации привели Великого художника к ее построению и руководили им. Интерпретация, воплощенная художником, остается непостижимой и пытаясь дать ее, мы так или иначе приходим к внешней интерпретации! Все, что мы можем сегодня - лишь еще раз сослаться на гениальность художника, удивляться и восхищаться ею!

Метаморфоза Эшера хранит еще не одну тайну. Она отражает логику и гармонию чисел и сама есть гармония искусства и числа. А быть может, и гармония "цифрового" мышления! По крайней мере - гармония искусства и математики, скрытая в феноменологии естественных технологий развития. А значит - не только патологических. Но и это еще не все...

Метаморфоза Эшера - аллегория современной математики, гимн ей! Она может быть построена, выражена и адекватно описана ее языком, и мы использовали этот язык, язык теории множеств, для вычисления метаморфозы опухолеобразования! И наша задача заключалась не только в том, чтобы построить такое аллегорическое или иное изображение, но найти на нем и использовать его структурные тайны применительно к феноменологии, скрытой в механизмах образования и развития раковых опухолей.

Великий Архимед был прав: все есть число! И число здесь правит бал! Пока еще тайный.

Литература

1. Bruno Ernst. The Magic Mirror of M.C.Escher. Taschen America Inc. 1994.

2. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. Наука М. 1974, стр. 254.

4. Ellis David O. and Ludwig Fred J. Precise Definition of System. "Systems Philosophy", 4, Prentice Hall, inc., Englewood Cliffs, 1962, pp. 128 - 131.

5. W. Rоss Ashby. The Set Theory of Mechanism and Homeostasis. "General Systems", vol. IX , 1964, p. 83-97.

6. Ya.Gelfandbein, V.Gelfandbein. The Classification problem and a multiple description of proliferating populations. Automatic Control and Computer Sciences, N.Y. vol,29, No.6, pp.68-81, 1995.