Естественные метаморфозы в магическом зеркале Эшера

Яков Гельфандбейн

Имя великого голландского художника Мауриса Корнелиса Ешера (Maurits Cornelis Escher, 1898-1972) известно как имя выдающегося мастера графического представления отношений между пространством и плоскими поверхностями и между пространственными структурами. В большой серии своих работ, названной "метаморфозами" (1937-1945), он отразил на плоской поверхности графические структуры, казалось бы, не имеющие отношения к глубинам естествознания. Но эти отображения как в магическом зеркале непостижимым образом неумолимо подчиняются строгим формальным определениям, отражая самое существо динамики и кинетики естественных преобразований клеточных структур. Сегодня их можно считать строгим аллегорическим отображением сущности отношений динамических и кинетических преобразований этих структур. 

К сожалению, художественные критики, да и биоматематики, не заметили в свое время этой замечательной особенности его творчества (разве только отметив сам факт отражения в метаморфозах отношений), но они и не могли этого сделать. Математика отношений в то время еще не была известна и достаточно разработана. Однако сегодня, даже в рамках статьи интернета, мы в состоянии интерпретировать эту связь и использовать метаморфозы Эшера как единственную возможность иллюстративного пояснения сущности сложнейшей феноменологии злокачественного роста, потери системой живого организма гомеостазического качества – стремления к сохранению жизнеспособности.

Возможность такой интерпретации позволяет поставить и другой важный для нас вопрос: а нельзя ли строгим путем вычислений и логических рассуждений получить некие графические отображения - метаморфозы, как отражения естественных технологических процессов на физических элементах биологических систем? Не являются ли такие процессы источником аллегорических метаморфоз, их денотатом? И если да, то как трактовать умопостигаемую, скрытную от наблюдения сущность метаморфоз? Какой смысл  содержащейся в их отображении информации? Возможно ли использование метаморфозы в  качестве источника визуальной информации, своего рода "интровидения" для практических целей? И вообще: каким образом строго, и вместе с тем наглядно, изобразить динамику, скрытные механизмы кинетики метаморфозы биологического субстрата с учетом феноменологических особенностей как процесса переключения физиологических технологий на технологии в патологии? Как построить и какой вид может иметь метаморфоза каждого конкретного (персонального) естественного процесса, в которой находит свое место каждая клетка из их генерального множества?

Решение этих проблем, изыскание средств визуализации закономерностей биологических механизмов, скрытных от наблюдения любыми техническими средствами, но доступных для отображения инструментом математики, может дать ответы на самые жгучие практические потребности.

Несмотря на сложность изложения проблемы в выбранном жанре, мы постараемся осветить эти вопросы по существу. Следующие контекстно-связанные статьи посвящаются именно этому.

"Небо и вода" (1938) - так называется одно из произведений художника. Метаморфоза (1937) - другое. Что между ними общего и что их отличает?

 Не составляет особого труда заметить два основных объекта первого из них: это существа, обитающие в небе и в воде - птица и рыба. Не доверяя внешней простоте рисунка и рассматривая их изображения более внимательно, можно увидеть и сущность метаморфозы. При движении по рисунку снизу вверх видно накапливание несущественных, едва различимых, ("размытых") отличий у сходных объектов. Это приводит к новому объекту, совершенно не похожему на исходный: от рыбы - к птице. При этом накопления изменений видны в промежутках между фигурками - на фоне плавного перехода от воды к небу. Если же двигаться вдоль уровней изображений, мы видим их полное сходство. Говорят, что объекты находятся в отношении одинаковости. Если для объектов указывается только сходство, то их невозможно разделить, сгруппировать на какие-либо четкие классы, таким образом, что внутри класса объекты похожи, а вне его, между объектами различных классов сходства нет. Говорят, что объекты находятся в отношении сходства, что мы и наблюдаем в вертикальном сечении рисунка. Объединяет сечения отношение упорядоченности или порядка. В общем случае это отношение соотносит элементы множества по выбранному признаку: важности, взаимному старшинству, первичности, геометрическому подобию и т.п. Четко выраженным признаком упорядочения по вертикальному сечению метаморфозы является статичность градиента изменений графического подобия. В горизонтальном сечении упорядоченность образуется на множествах перемежающихся элементов, связанных отношением одинаковости и это также порядок.

На второй картинке ситуация существенно иная. Здесь художник передал свое понимание отношений для метаморфозы множества различных статических объектов (в данном случае - это множество изображений строений местечка Амалфи на юге Италии) через множество динамических объектов в единственный статический объект, результат трансформации - забавного человечка. Забавная метаморфоза, не правда ли? Но она далеко не проста, ибо содержит громадный смысл, отражает множество сложнейших закономерностей, более того - проблем! Если хотите - в ней аллегорически отражен естественный патологический технологический процесс озлокачествления.

Всматривайтесь в рисунок и изучайте его внимательно, следуя нашим рассуждениям вдумывайтесь, и Вы увидите то, что не видно просто скользящему по поверхности рисунка взгляду!

Отношение одинаковости сохраняется. Но оно "размыто", возникает и исчезает, перемежаясь с отношением сходства незаметно, и существует в динамике трансформации, что делает отношение сходства также размытым. Эти отношения как бы переходят, плавно «перетекают» друг в друга. Они взаимно связаны отношением динамичности, перетока, как бы исчезая в одном множестве и порождаясь одновременно внутри другого деформирующегося множества! Проявляясь в обеих (горизонтальном и вертикальном) сечениях, эти отношения однако не только и не просто размыты и динамичны. Они периодически и размыто изменяют самую свою сущность - от одинаковости и сходства "нерегулярных" (элементов архитектуры) и "регулярных" (геометрических) фигур и далее - до их неразличимого, размытого сходства с фигурой живого существа - человечка, а затем - сходства и одинаковости элементов множества человеческих фигур.

Эти изменения отражают пространственный кинетический процесс трансформации не только отдельных размытых элементов рисунка и их размытых множеств (fuzzy sets), но и формирования некоторого, также размытого множества подмножеств, сети элементов, связанных отношением перетока, сходных между собой размытых множеств и множеств, находящихся в отношении одинаковости.

Это - суть отображение своеобразного механизма активации метаморфозы, внесенного творческим мышлением художника и оно отражает "вложенную" кинетику процесса изменения собственного смысла отношений одинаковости и сходства. Динамика кинетических процессов отражается сущностью отношений "размывания", "сгущения" и "перетока".

Если же, с другой стороны, говорить о динамичности смысла этих отношений в технологии отображения творческого замысла (что непосредственного отношения к биологическому процессу трансформации, вообще говоря, не имеет), то это материализованное отражение конкретного творческого мышления как технологии "понимания", интеллекта художника. А можно ли вообще говорить о механизмах мышления как о способе, технологии, например - обработки информации?

Динамичности отношений сходства и одинаковости соответствует также динамичное отношение упорядоченности. Но здесь отношение динамичности само является отражающим, рефлексивным. Изменяя смысл, оно разъясняет (эксплицирует) кинетические, "фронтальные" характеристики ветвления, распространения процесса трансформации. Первой же метаморфозе кинетические изменения не свойственны, упорядочение носит однонаправленный характер. Можно говорить о том, что динамичности отношения упорядоченности свойственно скрытно отражать некие характерные внутренние динамические механизмы, порождающие, активирующие и развивающие собственно процесс трансформации, хотя в изображение они (как и иные отношения), естественно, внесены художником.

Это означает, что можно утверждать одновременное существование в метаморфозе как процесса трансформации, так и процесса его активации. Это придает динамичности соревновательный характер, а отношениям сходства и одинаковости - ситуативный смысл.

Изучением математических закономерностей статических отношений равенства, сходства и порядка занимался известный советский ученый - математик Юлий Анатольевич Шрейдер. В 1971г. он издал книгу под названием "Равенство, сходство, порядок". Наши исследования динамичности ситуативных отношений метаморфоз опухолей базируются именно на этой работе.

Рассмотрим теперь метаморфозы Эшера в более общих трактовках, полагая при этом, что ограниченное число элементов, образующих метаморфозу множеств - мощность множеств, не нарушает общности, что она может быть сколь угодно большой и зависит лишь от фантазии и возможностей художника. Каждый объект в них - элемент множества. Он несет информацию о похожих на него элементах, но эта информация отлична от той, которая содержится в случае отношения одинаковости. Здесь возможны разные степени информации, содержащиеся в одном элементе относительно другого. Превосходная степень отношения сходства - неразличимость. Одинаковость связана с тем, что объекты неразличимые, как и сходные, нельзя разбить на классы таким образом, чтобы в каждом из классов элементы не различались, а разных классов различались заведомо. Отсюда следует, что одинаковость есть частный случай сходства. Но понятие "одинаковость" также расплывчато, а его точный смысл связан с учетом эксплицитных, разъясняющих отношений (эквивалентности и толерантности). Ситуация существенно осложняется размытостью самих ситуативных отношений. Где граница и где пересекаются множества подмножеств по разному красивых женщин и частично лысых мужчин? В обсуждении интригующего вопроса о такой размытой ситуации (fuzzy situation) без четких границ, поставленного основоположником теории размытых множеств L.A.Zadeh еще в 1965 году на совещании по технической кибернетике на борту печальной памяти теплохода "Адмирал Нахимов", принимал участие и автор.

Естественная динамичность размытости описания элементов множеств большой мощности и ситуативности динамических отношений на них, свойственна любому отображению распределенных в пространстве биологического субстрата нормальных и атипичных клеточных полей, и именно это вносит существенные сложности в распознавание, описание и оценку его текущих состояний, в особенности, на ранних стадиях возникновения и развития процесса озлокачествления.

Отвлекаясь от рассматриваемой ситуации, представим теперь, что на первом рисунке в воде представлена не одна трансформирующаяся рыбка, а множество подмножеств обитающих в водной стихии живых существ - от одноклеточных организмов до Несси - дракона озера Лох-Несс. А в небе - множество подмножеств пернатых и летающих тварей - от москитов до сказочного персонажа сказок - многоголового птеродактиля. И мы хотим отобразить всю динамичность и размытость ситуативных отношений метаморфозы каждого подмножества обитателей глубин в каждое подмножество небесных жителей.

Именно такое описание ситуативной задачи соответствует проблеме отображения метаморфозы биологического субстрата, которую мы раньше определили как результат естественного однонаправленного технологического процесса потери гомеостазического качества - стремления к сохранению жизнеспособности:

каждая клетка из подмножеств их функционально дифференцированного множества, изменяясь, последовательно проходит через различные стадии озлокачествления, "перетекая" из одного подмножества состояний в другое, более развитое, замещаясь другой клеткой, претерпевающей аналогичные преобразования, информационно и функционально взаимодействуя при этом с клетками как своего, так и иных подмножеств, пока не закончит свою жизнедеятельность в одном из финитных подмножеств озлокачествленных клеток, возможно - в виде "голого" ядра множества клеток "раковой жемчужины".

Изображение каждого отдельно взятого элемента - как нормального так и озлокачествленного (малигнизированного) клеточного поля, и поля в целом, обладает всеми необходимыми признаками размытости. В метаморфозе такого процесса уже не будет авторского замысла, здесь речь идет о строгом отображении естественной технологии патологического процесса. Такое построение соответствует получению умопостигаемой, визуально отображаемой информации о скрытных механизмах озлокачествления, о динамике кинетических механизмов роста. Можно ли говорить о получении картины такого характера средствами, отличными от математических?

Но как отразить закономерности размывания и перетока отношений, характер их ситуативности? Они ведь нам к тому же еще и неизвестны! Хватило бы для такой аллегории фантазии художника, даже если бы это было магическое зеркало Великого Эшера? Ответить на этот вопрос не легко. Но средствами современной математики отразить все множество отношений, существующих в биологическом субстрате на всем множестве изменяющихся ситуаций, оказалось возможным.

Интерпретируя элементы такой метаморфозы в терминах естественной технологии разрастающихся опухолей и рассматривая каждый из изображаемых на такой картине элементов множества как клетку с присущими ей функциональными, дифференцированными особенностями, можно говорить о том, что ситуативные отношения в этом случае отражают динамические отношения процессов жизнедеятельности и перетока клеток как в системе, так и в ее отдельных составляющих (подмножествах клеток). Так как в них в свою очередь отражаются функциональные группировки клеток, то тем самым отражаются и механизмы ситуативных отношений групповых взаимодействий. Этим отражениям должны и могут быть поставлены в соответствие некоторые численные параметры - характеристики порождающих и отражающих эти отношения биологических механизмов.

Но если существуют характеристики и их интерпретация, то существуют и практические возможности ее использования!

Задачу феноменологического исследования и отображения естественного технологического процесса роста опухоли можно формулировать как математическую задачу множественного описания, отображения и численного представления множеств ситуативных отношений межклеточных функциональных взаимодействий в динамике трансформации биологического субстрата из нормального состояния в состояние озлокачествления, с учетом отношений кинетики текущих состояний   субстрата на всем множестве межмножественных механизмов групповых ситуативных отношений взаимодействий.

Метаморфоза Эшера отражает преобразования множеств элементов, обладающие полным набором указанных особенностей. Ситуационная статистика метаморфозы Эшера и биологического субстрата совпадают.

И еще одна замечательная особенность метаморфозы Эшера. Ее рассмотрению мы в последующем уделим особое и достойное внимание. А сейчас лишь укажем на то, что полностью сформированная фигурка человечка на рисунке образовалась скачком, "оторвавшись" и освободившись от размытых ситуативных отношений метаморфозы. Она скачкообразно получила совершенно четкий "статус"! Однако, активация метаморфозы, наоборот - размыта! Такая ситуация, типична для гистологического препарата.. Процесс озлокачествления имеет особенности именно такого качества: начало процесса размыто, а на его завершающей стадии преобразование множеств патологических клеток в множества клеток, лишенных цитоплазмы, "голых" (причем совершенно "четких"!) ядер происходит скачком, взрывообразно. В частности, мы еще 1973 году отмечали это статистическое явление как феномен "ракового взрыва" (название дано академиком. А.А.Вишневским), завершающий естественный технологический патологический процесс малигнизации образованием метастаз.

Система отношений метаморфозы Эшера соответствует системе отношений процесса малигнизации биологического субстрата, аллегорически отражая ее.

Литература