Обладая литературой более обширной, чем алгебра и арифметика, вместе взятые, и по крайней мере столь же обширной, как и анализ, геометрия в большей степени, чем любой другой раздел математики, является богатейшей сокровищницей интереснейших, но полузабытых вещей, которыми спешащее по- коление не имеет времени насладиться. 
    Е. Т. Белл

Все три книги, о которых пойдет речь, пока не переведены на русский язык. Почему же они стали предметом нашего внимания? Это читатели поймут, надеюсь, из рассказа о них. Предваряя его, можно лишь сказать, что эти книги тоже о геометрии и красоте мира, описываемой этой наукой. А если более конкретно, то о связи между геометрией и искусством, между геометрией и нашим зрительным восприятием, то есть нашим зрением.

* * *

Бруно Эрнст. ВОЛШЕБНОЕ ЗЕРКАЛО М. К. ЭШЕРА. 
Рэндом хауз, Нью-Йорк, 1976, 112с.

Bruno Ernst. THE MAGIC MIRROR OF M.C. ESCHER. 
Random house. New York, 1976, 112 р.

"Книга Б. Эрнста – научная биография одного из наиболее интересных графиков XX века, голландца М.Эшера. В последние годы творчество этого художника возбудило большой интерес со стороны математиков и физиков. В его графике оказались заложенными глубокие принципы симметрии, которые были известны лишь кристаллографам. Оказалось, что многие работы Эшера могут быть проанализированы математическими методами. Так в свое время были проанализированы и изданы паркеты Эшера, обсуждавшиеся на всемирном съезде кристаллографов.

Симметрии Эшера оказались более богатыми, чем симметрия кристаллов. В ряде работ, описанных в книге Эрнста, реализовались симметрии плоскости Пуанкаре, модели релятивистского пространства скоростей. Переплетение искусства графики и математической теории симметрии в той форме, а которой оно представлено Эшером, явление уникальное, но еще малоизвестное нашему читателю.

Симметрия не единственная отличительная черта графики Эшера. Вторая, не менее важная черта, – это глубокие по своим математическим и физиологическим корням исследования принципов перспективы. Трехмерное отображение двумерного чертежа в мозгу человека оказывается очень сложным и далеко не до конца по- нятым процессом.

Автор, хорошо зная Эшера, сообщает читателю очень много сведений о ходе мыслей художника и предоставляет большое собрание тщательно отобранных примеров, каждый из которых мо- жет служить предметом обсуждения и дает богатый материал для размышлений о разных вопросах, пограничных с теорией симметрии и физиологией зрения. Книгу поэтому можно сравнить, с одной стороны, с знаменитой работой Р. Грегори "Разумный глаз", в которой парадоксы зрения нашли свое место, а с другой стороны, она примыкает к книгам по занимательной науке, отражая неожиданным образом, дух науки XX века."

Доктор физико-математических наук,
профессор Я. А. Смородинский.

Книга и в самом деле неожиданна и необычна.

Прежде всего, несколько слов об ее авторе. Бруно Эрнст – это псевдоним Ханса де Рийка, преподавателя математики и физики в Амерсфорте, небольшом городке провинции Утрехт. Он родился в 1926 году в Роттердаме и 26 лет своей жизни провел в монастыре, но потом отказался от монашеского сана, женился и самым активным образом занялся физико-математическим образованием подрастающего поколения. Он много лет подряд руководил изданием журналов, родственных нашему "Кванту", – сначала журналом "Пифагор", потом – "Архимед". Его перу принадлежит более сотни книг и статей, посвященных астрономии, фо- тографии, истории письменности и каллиграфии и даже графологии (хотя, разумеется, он не был специалистом ни в одной из этих областей, но лишь талантливым популяризатором полученных учеными результатов). Он много сделал для создания первой в Голландии общественной астрономической обсерватории, которая теперь превратилась в некое подобие научно-исследовательского института. Ханс де Рийк награжден Серебряной Гвоздикой, высшим отличием, которое ежегодно вручается не более чем трем людям лично принцем Бернардом в знак особых заслуг в развитии культуры страны.

"Неважно, известны ли вам уже изумительные работы М. К. Эшера или же вы хотите познакомиться с ними впервые ­ эта книга написана для вас", – гласит надпись на суперобложке. Несмотря на ярко выраженное рекламное звучание, слова эти абсолютно верны. Трудно представить себе читателя, который останется равнодушным, хотя бы просто перелистывая ее страницы, где гравюры соседствуют с геометрическими чертежами, объясняющими их математический смысл или же послужившими источником вдохновения для художника, где стенные росписи, марки и даже банкноты, созданные Эшером, перемежаются с бесчисленными эскизами и заготовками, благодаря которым становится ясно, каким путем шла его мысль.

Ханс де Рийк каждый воскресный день приезжал в Баарн к Морису Эшеру. Они подолгу разговаривали и вместе, не торопясь, работали над книгой, в которой творчество художника было бы не только понято, но и объяснено. Эшер не дожил до ее выхода в свет, однако успел прочитать рукопись и сделать немало замечаний, которые, естественно, были учтены автором. Таким образом "Волшебное зеркало М. К. Эшера" весьма авторитетно рассказывает об истинных мотивах творчества художника. К концу своих дней Эшер общался всего с несколькими людьми, среди них Ханс де Рийк был, пожалуй, самым близким ему по духу. (Еще один парадокс в жизни художника-парадоксалиста: убежденный атеист, Эшер находил много общего между своей философией и взглядами глубоко верующего бывшего монаха. В то же время де Рийк, проведший большую часть своей сознательной жизни за монастырскими стенами, не раз поражался поистине аскетическому образу жизни художника, который во всем довольствовался самым малым и был совершенно безразличным к богатству, признанию и почестям.) Недаром после смерти Эшера именно к нему перешли многие вещи покойного, особенно ему дорогие, в том числе старинный шкаф, на двери которого сохранился монтаж фотографий, очевидно, дорогих для Эшера: его жены, их сыновей, Эйнштейна, Анны Франк – и кристаллов, совершенных творений природы, которые он так любил.

Вообще же, хотя математическое начало, несомненно, весьма сильно в гравюрах Эшера (именно поэтому художественные критики долго не признавали его), они всетаки изображают не мир формул, а красоту мира.

"Чарльз Сноу отметил поистине странный факт, что искусство XX века так мало усвоило достижения науки XX века. Это наблюдение дало ему еще одно доказательство того, что наша цивилизация распалась на две различных культуры, – пишет в одной из журнальных рецензий на только что вышедший альбом М. К. Эшера известный коллекционер эшеровских гравюр Корнелиус Ван Шаак Рузвельт, который в 1973 году передал свою самую полную а мире коллекцию в дар Вашингтонской Национальной галерее искусств, создавшей центр по изучению творчества художников XX века. – Так же, как ранее Леонардо да Винчи, Эшер своим особым способом пытается уменьшить этот разрыв, и в этом, вероятно, главная причина его популярности не только среди молодых, но также и среди вполне уже зрелых ученых и инженеров. И когда критик с раздражением заявляет, что он ни во что не ставит Эшера, ему можно напомнить подпись под одной забавной карикатурой: "Они все идут туда! Надо бы и мне поторопиться, поскольку я их лидер".

"Книга Б. Эрнста об известном голландском графике М. К. Эшере представляет большой интерес не только для математиков и физиков, но и для широкого читателя. Автор книги, будучи сам математиком, очень ясно и убедительно комментирует и разъясняет для неспециалистов иногда довольно сложный смысл и задачи той или иной гравюры Эшера. Творчество этого художника действительно необычно и требует таких дополнительных толкований, в отличие от обычных произведений графиков-пейзажистов или жанристов, не ставящих перед собой никаких других, сверх общепринятых, изобразительных задач.

Эшер стоит особняком среди своих западноевропейских собратий. Его творчество глубоко отлично по своему существу от произведений сюрреалистов, с которыми, казалось бы, оно имеет некоторое внешнее сходство. Однако интеллектуальный склад гравюр Эшера коренным образом противоположен алогичным творениям сюрреалистов. Эшера всегда раздражало полное отсутствие логики и связи с реальностью в их произведениях, принципиальная неразрешимость их так называемых "загадок". У Эшера, если загадки зрителю и ставятся, то только для того, чтобы продемонстрировать логические методы их разрешения. Он как бы призывает нас восхититься сложностью путей построения действительной жизни, так как показывает не только конечный результат, но и те законы, при помощи которых он достигнут. Отсюда бесконечная тщательность и детальность его гравюр, их глубокая продуманность. Работы Эшера носят характер исследований, он делает гравюры, чтобы сообщить о своих открытиях, о своих решениях тех или иных интеллектуальных проблем, связанных с изображением трехмерно- го пространства на двумерной плоскости. Он критически изучает законы классической перспективы и экспериментирует с неевклидовой геометрией Лобачевского. Эшер занимается изучением структуры пространства как в реальных пейзажах, так и в математических фигурах, например кристаллах, а также структурой плоскостей, главные образом при сложных орнаментальных построениях, и, наконец, отношениями между пространством и плоскостью в изобразительном искусстве. Любопытны его гравюры, изображающие на плоскости листа – и при этом очень убедительно – невозможные в реальном пространстве архитектурные сооружения и другие виды оптических иллюзий. Гораздо более "странными" кажутся как раз его безукоризненные и совершенно точные с научней точки зрения фиксации отражений комнаты и его самого на сферических выпуклых и вогнутых поверхностях.

Очень скромный в личной жизни, никогда не гонявшийся за легким успехом и популярностью, Эшер тем не менее стал широко известен уже в 1950-х годах, а в 1965-м французский художник Альбер Флокои восторженно писал о его "удивительных открытиях, когда оказывается, что такие, казалось бы, незыблемые понятия, как верх и низ, близкое и далекое, правое и левое, могут меняться местами. Он показывает совершенно новые отношения между точками, поверхностями и пространством, между причиной и следствием, возникающими в его гравюрах, хотя и странными, но, по-видимому, вполне возможными, мирами". При этом Эшер всегда старается использовать вполне реальные и конкретные мотивы — птиц, рыб, пресмыкающихся или людей.

На большой ретроспективной выставке Эшера, устроенной к его семидесятилетию в 1968 году, посещаемость не уступала выставке Рембрандта. Его гравюры часто служили иллюстрациями для научно-популярных статей и трудов по математике, физике, кристаллографии. Имя его часто встречалось в научно-популярных изданиях и у нас в СССР.

"Эшера никогда не покидало чувство восхищения перед бесконечной способностью жизни творить красоту", – пишет Бруно Эрнст. Виртуозное владение графическими техниками (в том числе гравюрой на дереве, литографией, меццотинто, линогравюрой) позволило ему создавать не только головоломные листы сложнейших орнаментальных замыслов, но одновременно творить такие красивые вещи, как, например, линогравюра "Рябь на воде", где отражения деревьев перебиваются расходящимися от начинающегося дождя кругами. Хороши и ранние пейзажи, особенно ночные, итальянских городков и скалистых гор. Математический аспект все же доминирует у Эшера, что, впрочем, не умаляет его профессиональных достоинств."

Доктор .искусствоведения 
Е. Некрасова.

Да, это так – математический аспект доминирует в работах Эшера. "Волшебное зеркало..." рассказывает об этом убедительно и наглядно. Отчетливо просматривается путь мысли художника, если взглянуть на серию эскизов к гравюре "Картинная галерея". Точно так же становится ясной и внутренняя суть эшеровской работы "Рыбы и чешуйки", стоит лишь внимательно изучить приводимые Бруно Эрнстом чертежи.

Но вот придет ли на ум самостоятельно, без подсказки автора, что математическая структура "Картинной галереи" представляет собой зеркальное отражение той "сетки", на которой построены "Рыбы и чешуйки"? И так ли уж очевидно, что "Дом из лестниц" построен с помощью чисто геометрического преобразования вертикальных и горизонтальных линий на поверхности цилиндра, как показано на рисунках? И логарифмические спирали, организующие гравюру "Путь жизни II", тоже едва ли сами по себе стали видны неискушенному взгляду, если бы математик не програнил их своим все на свете обнажающим пером.

Но всего, пожалуй, "математичнее" серьезные игры художника с бесконечностью и с ее интерпретацией в различных геометрических построениях.

"Творчество знаменитого голландского "математического графика" Мориса Корнелиуса Эшера пользуется во всем мире широкой известностью у любителей искусства и, вероятно, еще в большей степени у любителей науки; за последние десятилетия этот интерес захватил и нашу страну. (Автор настоящих строк также откликнулся в свое время на интерес к Эшеру, коснувшись его творчества в статье "Симметрия и искусство орнамента", помещенной а сборнике "Ритм, пространство и время в литературе и искусстве", Л., Наука, 1974; однако в этой довольно специальной и общей статье Эшеру возможно было уделить лишь минимум внимания.) Связь творчества Эшера с наукой – с математикой, физикой, кристаллографией — является совершенно бесспорной; ее охотно подчеркивал и сам художник, выпустивший, например, специально рассчитанный на кристаллографов альбом своих рисунков, призванный проиллюстрировать все плоские кристаллографические группы: в качестве наименования отдельных иллюстраций из этого альбома он указал принятые в кристаллографии обозначения групп симметрии этих рисунков. Характерна также тесная связь М. К. Эшера с одним из крупнейшиж современных геометров, канадцем Гарольдом Скоттом Макдональдом Коксетером. Книги Коксетера, в том числе и переведенные на русский язык, иллюстрировались гравюрами Эшера, а Коксетер написал статью, сопровождающую один из последних (и из самых лучших) альбомов Эшера. С другой стороны, некоторые из эффектных "неевклидовых" гравюр Эшера развивают, как неоднократно указывал сам художник, темы, заимствованные из "чисто геометрических" иллюстраций к научным сочинениям Коксетера.

...Последняя глава книги посвящена прямой реализации "неевклидовых" идей у Эшера, к слову сказать возникших в его художественном творчестве в разных вариантах еще до его прямого знакомства с гиперболической геометрией Лобачевского. Дело в том, что в соответствии с известными идеями Ф. Клейна различные "геометрии" различаются характеризующими их группами симметрии, так что различие, скажем, между классической геометрией Евклида и гиперболической геометрией Лобачевского связано не с разными свойствами параллельных – второстепенные и малосущественные свойства! – а исключительно с разным строением групп симметрии пространства или плоскости. Возможно, что до знакомства с сочинениями Коксетера Эшер и не был знаком с этими подходами к геометрии, но с его обостренным вниманием к симметрии он, разумеется, не мог пройти в своем творчестве мимо попыток модификации "евклидовой симметрии", что и приводило его к разным типам «неевклидовых» пространств. При этом если в "модели Клейна" и в "модели Пуанкаре" неевклидовой геометрии Лобачевского роль "абсолюта", то есть множества "бесконечно удаленных точек", играет окружность или, реже. прямая, то в конструкциях Эшера "точки схода" ("бесконечно удаленные точки") могли, заполнять границу квадрата или вовсе быть изолированными; последние варианты эшеровских построений отвечали системам симметрии, характеризующим, скажем, логарифмическую спираль Я. Бернулли или так называемую спираль Корню играющую столь значительную роль в волновой оптике. Наконец, последняя часть последней главы книги Бруно Эрнста посвящена "змеиной теме" у Эшера (Имеется в виду последняя из созданных художником гравюр,названная им "Змеи", и эскизы к ней), в которой несколько неожиданным образом сливаются сразу две глубокие математические идеи; учение об узлах занимающее столь заметное место в топологии, и та же тема о реализации "бесконечно удаленных точек" плоскости."

Доктор физико-математических наук, 
профессор И. М. Яглом.

В книге приводится иллюстрация из работы Г. С. М. Коксетера, в которой Эшер сразу же увидел новые возможности для своего художнического способа "игры" с бесконечностью. Так а 1958 году появилась гравюра "Предел на круге I". Сам художник был недоволен ею. 

"В этой работе, поскольку она явилась первой попыткой, видны все недостатки. Не только форма рыб, развившаяся из некой прямолинейной абстракции в какое-то вымершее существо, но также и их расположение друг напротив друга оставляют желать лучшего. Можно проследить три различных ряда рыб, уменьшающихся к размерах по направлению осей, вдоль которых расположены их тела, но ряды эти состоят из белых рыб, соприкасающихся головами, и черных, смыкающихся хвостами. Таким образом нет непрерывности, нет "транспортного потока", нет единства цвета а каждом из рядов".

За этой гравюрой последовала другая, менее известная, "Предел на круге II". По поводу ее Эшер в разговоре с де Рийком говорил в своей обычной манере, когда шутку невозможно отличить от вполне серьезных слов: 

"На самом деле этот вариант надо бы написать на внутренней поверхности полусферы. Я предложил его папе Павлу, чтобы он распорядился украсить таким образом внутреннюю часть купола собора святого Петра. Представьте себе бесконечное число крестов, висящих у вас над головой! Но папе идея не понравилась".

Автор "Волшебного зеркала М. К. Эшера" раскрывает "технологию" создания многих удивительных гравюр художника, воспроизводя в своей книге многочисленные эскизы, чертежи, а порой и специально сделанные макеты и фотографии. Вот как, например, рассказывает он о замысле гравюры "Три сферы I" и его исполнении; "Верхняя часть гравюры состоит из большого числа эллипсов, или, если хотите, большого числа маленьких прямоугольничков, расположенных по эллиптическим кривым. Но практически невозможно избавиться от ощущения, что мы видим перед собой сферу. Эшер, однако, стремится внушить нам, что никаких сфер на его гравюре вовсе нет, что она абсолютно плоская. Поэтому он сгибает верхнюю часть гравюры и перерисовывает получившуюся фигуру под так называемой сферой. И все-таки мы вновь не в силах отказаться от трехмерной интерпретации изображенного: теперь мы видим полусферу с "крышкой" наверху! Хорошо же, говорит Эшер, теперь я рисую верхнюю фигуру еще раз уже совершенно плоской, лежащей внизу гравюры. И что же? Даже тут мы отказываемся признать, что она плоская, и видим овальный надутый шар, а отнюдь не плоскую поверхность с нарисованными на ней кривыми линиями. Фотография иллюстрирует то, что сделано Эшером". Эта фотография, помещенная на обложку книги, иллюстрирует собой и тезис, неоднократно выдвигавшийся самим художником: «Рисовать — значит обманывать». Смысл, который он вкладывал в эти слова, состоит в том, что всякое изображение заставляет человека принимать воображаемое за реальность.

И в заключение, чтобы не оставить без ответа естественный вопрос о том, какой смысл вложил Бруно Эрнст в название своей книги, цитата из нее, относящаяся к гравюре художника, подарившей книге – имя, а ее автору – вдохновение:

"Эшер в самом прямом смысле слова вызывает в сознании некие образы. Он держит перед собой волшебное зеркало, чары которого неотразимы. Здесь Эшер несравненный, уникальный мастер. Гравюра "Волшебное зеркало" иллюстрирует это свойство его таланта особенно рельефно. С точки зрения чисто художественной, она, возможно, и не является удачной. Она предстает перед нами в виде запутанного клубка идей и образов. Конечно, на ней что-то происходит, но это "что-то" совершенно непонятно. Очевидно, гравюра содержит в себе некий рассказ о каких-то событиях, но начало и конец его скрыты от взора.

Все начинается на ней в самом неприметном месте. На краю зеркала, ближайшем к зрителю, прямо под наклонной перекладиной, мы видим кончик маленького крылышка вместе с его отражением. По мере того как взгляд наш скользит вдоль зеркала, оба они вырастают во вполне законченную крылатую собаку и ее зеркальный образ. Коль скоро мы позволили уверить себя, что в принципе возможна жизнь кончиков крыльев независимо от самих крыльев какого-то живого существа, мы должны согласиться и с тем, что вся ситуация в целом не лишена правдоподобия. Когда настоящая собака движется от зеркала вправо, ее отражение уходит влево и выглядит при этом настолько реальным, что у нас не вызывает ровно никакого удивления тот факт, что отражение это движется за зеркалом, совершенно не обращая внимания на его раму. Теперь уже крылатые гончие смещаются и вправо и влево, дважды удваиваясь на своем пути, и наконец встречаются друг с другом как две армии. Однако прежде чем наступит конфронтация, они вдруг теряют свои пространственные свойства и превращаются в плоский узор на мозаичном полу. Если внимательно всмотреться, то видно, что черные собаки превращаются в белых в тот миг, когда они проходят сквозь зеркало, при этом как раз заполняются светлые промежутки между черными собаками. Эти белые промежутки затем исчезают, и скоро от собак не остается никаких следов. Впрочем, они ведь никогда и не существовали, поскольку крылатые собаки не рождаются в зеркалах! И тем не менее загадка остается загадкой; перед зеркалом расположена сфера, а в зеркале видна часть ее отражения, отклоненная на некоторый угол. За зеркалом же мы вновь видим сферу – вполне реальный объект в самой середине нереального зазеркального мира.

Кто этот человек, кто обладает волшебным зеркалом? Почему он создает гравюры вроде той, что сейчас перед нами, явным образом, не обращая никакого внимания на вопросы эстетики?.."

* * *

Дорис Шатшнейдер и Уоллес Уолкер. М. К. ЭШЕР. КАЛЕЙДОЦИКЛЫ. 
Балантайн букс, Нью-Йорк, 1977, 48 стр. и альбом с 17 цветными развертками различных калейдоциклов.

Doris Schatschneider and Wallas Walker. M.K.ESCHER. KALEIDOCYCLES. 
Ballantine Books. New York, 1977, 48 р.

И книга, и альбом, который составляет с ней одно законченное целое, построены, в сущности, на одной счастливой находке.

Но сначала несколько слов об истории, про которую в книге ничего не сказано. В ведущем американском научно-популярном журнале "Сайентифик Америкэн" (который с начала 1983 года переводится на русский язык издательством "Мир") была напечатана статья Марианны Теубер, специалистки по истории искусства, "Источники неоднозначности в гравюрах М. К. Эшера". Вокруг нее неожиданно разгорелась полемика.

Смысл статьи сводился к тому, что Эшер будто бы творил под сильным воздействием работ психологов, особенно тех из них, кто принадлежал к так называемой школе гештальтпсихологии, считавших, что человек мыслит лишь образами, воспринимая мир сразу всем своим существом, во всяком случае – всем своим мозгом. Марианна Теубер с не совсем понятной для ученого категоричностью утверждала, что Эшер был знаком с работой Курта Коффки "Принципы гештальтпсихологии", что ему известны были труды Эдгара Рубина и других психологов. Тон статьи выбран таким, будто речь идет не о гипотезе, нуждающейся в проверке, а о безусловных фактах.

В редакцию "Сайентифик Америкэн" пришло письмо от сына художника Джорджа Эcхера, по профессии геолога, в котором он самым решительным образом возражает Марианне Теубер. Работы гештальтпсихологов не оказали практически никакого влияния на его отца просто потому, что он их никогда не читал. Это доказывается, в частности, тем, что М. К. Эшер вел очень подробные записи, касающиеся всех его занятий, и там отмечались все источники, из которых он черпал свое вдохновение, однако ни слова в этих многолетних и тщательно составленных бумагах не сказано о трудах хотя бы одного из психологов. Образ человека, возникающий по прочтении статьи Теубер, ничем не напомнил Джорджу Эшеру его отца - ищущего, трудолюбивого, фанатически увлеченного своим делом художника, который никогда не искал готовых схем для своих гравюр в научных и технических журналах.

Что же касается его постоянного интереса к проблеме "фигура-фон", которой действительно много занимались гештальтпсихологи, а также почти болезненного стремления заполнять плоскость листа различными фигурами, вплотную, без зазоров примыкающими друг к ДРУГУ, что само по себе тоже имеет некоторое касательство к обсуждавшимся гештальтпсихологами вопросам, то в одном из писем Джордж Эшер рассказывает о любопытном эпизоде. Однажды его отец, будучи уже известным художником, ехал в трамвае, и вдруг солидная дама окликнула его: "Маук Эшер?" Это было его школьным именем, и, естественно, начались воспоминания двух уже немолодых одноклассников. И первое, чем поинтересовалась дама, было — не изменилась ли его детская привычка тщательно подбирать кусочки сыра и колбасы, прежде чем положить их на хлеб, чтобы бутерброд получился с безукоризненным "покрытием"? Оказалось, что хотя бы в этом отношении Маук совершенно не изменился.

Вот эту самую "безнадежную манию", как сам Эшер называл свое пристрастие к сочинению всякого рода мозаик, и использовали авторы книги-альбома. Они поместили эти бесчисленные плоды его воображения и мастерства на грани своего рода пространственных колец – калейдоциклов, создав тем самым удивительные по красоте и необычности геометрические построения – "развитие работ Эшера в третьем измерении", как сами они называют свое изобретение.

Калейдоцикл – кольцо, собранное из соединенных друг с другом вдоль своих ребер тетраэдров. Оно способно к самым неожиданным превращениям, когда звенья этого кольца, вращаясь, проходят через его центр. И совсем уж редкостный эффект возникает, когда грани тетраэдров несут на себе одну из эшеровских мозаик, о чем свидетельствует множество моделей, которые может построить своими руками всякий, у кого есть книга-альбом "М. К. Эшер. Калейдоциклы".

Разумеется, авторы ее никак не могли пройти мимо героев этой книги – платоновых тел. "Великолепная пятерка" волновала и Эшера. В числе самоделок, предлагаемых читателю, додекаэдр, построенный художником, вращая который в любом направлении, мы постоянно видим чередование морских звезд и ракушек. Есть там и куб, и икосаэдр, и октаэдр и некоторые из полуправильных многоугольников, каждый из которых украшен мозаикой. Но самое, быть может, сильное впечатление производит фотография наиболее совершенного из всех геометрических тел – сферы, по поверхности которой знаменитый японский резчик по слоновой кости Масаточи разместил мозаику из рыб. Идея создать этот шедевр принадлежала Корнелиусу Рузвельту, который коллекционирует не только работы Эехера, но и японские нецке – миниатюрные изделия из кости или камня.

Читатель книги-альбома познакомится и со многими важными понятиями кристаллографической симметрии, и с проблемой раскраски карт, и с другими любопытными вещами. Но все это будет полезным приложением к долгим часам наслаждения, когда он, с ножницами и клеем в руках, готовит поразительные в своем разнообразии и изяществе калейдоциклы.

* * *

Дуглас Р. Хофстадтер. ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: НЕСКОНЧАЕМАЯ ЗОЛОТАЯ ЦЕПЬ. 
Бейсик букс, Нью-Йорк,1979,777с.

Douglas R. Hofstadter.GODEL, ESCHER, BACH: AN ETERNAL GOLDEN BRAID. 
Basic Books Inc. Publishers, New York, 1979, 777 р.

Из трех попавших в поле нашего внимания книг, раскрывающих возможности искусства в выражении геометрических идей, эта самая объемная и, пожалуй, самая глубокая и интересная.

Дуглас Хофстадтер, молодой инженер-компьютерщик, получивший весьма разностороннее, в том числе языковое и музыкальное, образование, подметил еще одну "тонкую, властительную связь" – между знаменитой теоремой Курта Геделя, музыкой Иоганна Себастьяна Баха и гравюрами Маурица Кориелиса Эшера. Символом этой связи служит вырезанная и сфотографированная им самим фигура.

Что касается связи между музыкой Баха и творениями Эшера, то она, видимо, лежит в глубинах их творчества. И хотя можно строить лишь предположения о том, что сказал бы Бах по поводу работ Эcхера, если бы они ему были показаны, с достоверностью известно, что любимым композитором Эcхера был именно Бах. "Он любил музыку, – вспоминает многолетний друг и финансовый советчик Эcхера Ян Вермеулен. – Если где-либо случался концерт Баха, мы часто отправлялись туда вдвоем с ним. К Баху у него было особое влечение. Он анализировал математическую сторону его композиций так же скрупулезно, как изучал форму птицы или оптические свойства призмы. Гравюры Эшера вдохновили голландского композитора Юриана Андриссена написать произведение, которое сам Эшер весьма ценил".

Эшер, однако, не просто любил музыку. Как в литературе его вкусы определились довольно рано и оставались неизменными (он любил Достоевского, особенно "Преступление и наказание" и "Идиота", а "Война и мир" Л. Н. Толстого была книгой, с которой он не расставался до последнего часа), так и в музыке он принимал лишь ту ее часть, что не слишком справедливо называется иногда "серьезной". Его неприятие суперсовременных ритмов было столь велико, что Эшер в самой решительной и даже резкой форме отказал Мику Джаггеру, одному из популярнейших певцов невероятно популярной группы "Роллинг стоунз" и в то же время горячему почитателю таланта Эшера, в разрешении поместить одну из своих гравюр (а именно гравюру "Вербум", о которой Нобелевский лауреат Мелвин Кельвин писал: "В ней в художественной форме представлены те проблемы, о которых я думал – сущность эволюции и жизни на земле") на конверте с новой долгоиграющей пластинкой. Впрочем, другие поп-группы оказались менее щепетильными и широко использовали различные работы Эшера для рекламы своих дисков, эксплуатируя любовь молодежи к его загадочным и в то же время прекрасным гравюрам и при этом не спрашивая согласия художника.

Дуглас Хофстадтер выбрал лишь одно из произведений Баха – "Музыкальное приношение", а из него всего один из десяти канонов, который он называет "Бесконечно Поднимающимся Каноном" (вместо простого и скромного баховского "Саnоn реr Тоnоs"). Канон этот "устроен" таким необычайным образом, что слушателю представляется, будто мелодия поднимается все выше и выше, уходит в бесконечность, и вдруг, когда пройдено шесть витков этой уходящей в небо спирали, оказывается, что канон звучит точно так же, как и вначале (у Баха, правда, на октаву выше, но в книге предлагается способ исправить это "упущение" великого композитора).

Для явлений подобного рода Хофстадтер придумал специальный термин "странные петли". Феномен "странной петли" состоит в том, что, поднимаясь вверх (или опускаясь вниз) по уровням некой иерархической системы, мы неожиданно обнаруживаем себя на том же месте, откуда начали свой путь. "Странные петли" существуют в "спутанных иерархиях" (это снова термин, придуманный автором книги) — например, в науковедении, поскольку тут наука изучает свои собственные закономерности, или же в созданных правительственными органами институтах, занятых изучением деятельности правительства, или же в попытках человеческого мозга познать свою собственную структуру.

И здесь естественным и логичным путем перекидывается мостик к гравюрам Эшера и его видению мира:

"На мой взгляд, самым прекрасным и мощным зрительным выражением идеи "странной петли" является творчество голландского графика М. К. Эшера, который жил с 1902 по 1972 год. Его работы стимулируют деятельность интеллекта в большей степени, чем любые другие из когда-либо созданных художниками. Многие из его гравюр основаны на парадоксах, иллюзиях или неоднозначности. Математики были первыми среди почитателей его таланта, и это понятно, поскольку гравюры его часто несут в себе понятия математического толка – например, симметрии... Но в его работах всегда присутствует нечто большее, чем, скажем, просто симметрия. Они представляют собой скрытую идею, реализованную в художественной форме. Среди других идея "странной петли" – одна из самых частых в его творчестве. Взгляните, к примеру, на гравюру "Водопад" и сравните ее шестизвенную бесконечно падающую петлю с шестизвенной бесконечно восходящей петлей "Саnоn реr Тоnоs". Совпадение знаменательное. По сути дела, Бах и Эшер исполняют одну и ту же тему в двух разных «ключах» – музыкальном и графическом.

Эшер реализовал идею "странной петли" несколькими различными способами, их можно выстроить по степени «затянутоcти» петли. В гравюре "Поднимаясь и опускаясь", на которой изображены монахи, навечно обреченные тащиться по нескончаемым ступеням, дана самая свободная из петель, поскольку здесь требуется совершить большое число шагов, прежде чем будет достигнута начальная точка пути. Петля "Водопада" более узкая, так как она, как уже отмечалось, состоит всего из шести звеньев-шагов... Затягивая петлю дальше, мы получаем знаменитую работу "Рисующие руки", на которой каждая рука рисует другую – это петля из двух звеньев. И, наконец, самая узкая из возможных петель реализована в гравюре "Картинная галерея", которая представляет собой картину, включающую в себя себя самою...

Неразрывно с понятием "странной петли" понятие бесконечности, ибо что еще представляет собой петля, как не бесконечный процесс, изображенный в конечном виде? Идея бесконечности играет большую роль во многих работах Эшера. Вариации одной и той же темы часто включены одна в другую, образуя таким путем изобразительную аналогию канонам Баха. К примеру, это легко можно увидеть на знаменитой гравюре "Метаморфозы". Она в известной мере напоминает "Бесконечно Поднимающийся Канон": путешествуя по ней все дальше и дальше, оказываешься вдруг в самом начале".

Дуглас Хофстадтер не просто подмечает аналогию, но и использует ее для разрешения некоторых парадоксов познания. Он, в частности, приводит в своей книге диаграмму, схематически иллюстрирующую «спутанность» иерархий в системе "Рисующие руки". Тут нет обычных легкоразличимых уровней "рисующая" и "рисуемая" рука. Парадокс разрешается благодаря тому, что находится следующий, невидимый уровень, находящийся в ином пo отношению к гравюре измерении: это сам Морис Корнелиус Эшер, ее создатель, который является "рисующим" по отношению к правой и левой руке, да и всей гравюре в целом. Ситуацию можно еще дополнительно "эшеризировать", как предлагает автор книги: стоит лишь сфотографировать руку человека, рисующего гравюру "Рисующие руки".

Разговор о парадоксах подвел нас вплотную к смыслу аналогии между трудами Геделя, логика, и Эшера, художника. Однако этот путь увел бы нас слишком далеко от нашей геометрической темы, хотя правда, пройдя его, мы сумели бы вновь вернуться к начальной точке, совершив еще одну "странную петлю". Поэтому, сознательно игнорируя серьезный разговор о теореме Геделя, позволим себе лишь высказать предположение, что и параллель "Гедель-Эшер" тоже вполне обоснована некими глубинными структурами сознания и того и другого.

Ведь в чем суть геделевской "теоремы о неполноте"? Она утверждает, что система не может понять свое собственное устройство, если не поднимется на следующий уровень (это одно из возможных толкований). В чем здесь главное? В парадоксе. Сродни знаменитому высказыванию критянина Эпименида "Все критяне лжецы", про которое нельзя сказать, истинно оно или ложно. Так вот именно парадоксами столь богата жизнь самого Эшера а не только его гравюры. В самом деле, в школе он не успевал по математике, оставался даже на второй год – и именно математики находят в его гравюрах глубокий смысл и источник вдохновения. До сорока лет он беспрерывно путешествовал, а потом практически не покидал своего дома в Баарне до самой смерти. Он рисовал левой рукой, а писал – правой. Всю жизнь был убежденным атеистом и не раз позволял себе антиклерикальные высказывания (даже знаменитая гравюра "Поднимаясь и опускаясь" таит в себе плохо скрытое издевательство, поскольку "монашеский труд" по-голландски означает пустую, бессмысленную работу), но ближайшим другом его был бывший "брат Эрик" – монах-расстрига Ханс де Рийк. Можно ли удивляться, что такого человека тянуло к парадоксам и в искусстве? А если так, то незачем искать иных причин, почему творчество его оказалось сродни глубоким и парадоксальным идеям Геделя – идеям истинно философского звучания.

...И здесь, заключая рассказ о книге "Гедель, Эшер, Бах; нескончаемая золотая цепь", хочется сказать несколько слов о связи между математикой и философией, потому что, быть может, именно этих рассуждений не хватает книге Хофстадтера, обнаружившего не лежащую на поверхности близость образов, созданных средствами музыки и графики, математическим идеям.

Математика и философия многие века шли рука об руку, более того они были, в сущности, нерасторжимы: философы считали себя математиками, математики рассуждали как философы. Но и разойдясь, они не утратили "взаимности": философы по-прежнему находили в математических абстракциях опору для своих выводов, а математики, как и раньше, нередко по самым разным поводам обращались к философии. В наше время связь эта приобрела особое значение. "Неожиданная, на первый взгляд, не заданная изначально приложимость законов математики к физическому миру многих сбила с толку. Отдельные теоретики... стали задаваться вопросом: а не был ли прав Платон в своем объективном идеализме? В самом деле: разрабатывается некий математический аппарат, а затем оказывается, что физическая реальность подчиняется его выводам и законам.

"Не заданная изначально приложимость законов математики к физическому миру" сбивала с толку не единожды и в прошлом, и не только философов платоновского плана, но и многих выдающихся и даже великих математиков.

Легендарная надпись на вратах Академии, основанной Платоном почти две с половиной тысячи лет назад, гласила: "Негеометр да не войдет!". Казалось бы, какое право было у Платона на такие слова: что существенного сам он сделал для геометрии?

Но дело вовсе не в том, что Платон дал геометрии, а в том, что геометрия дала Платону, чем была она для его учения, послужившего основой философской системы объективного идеализма. Чтобы воочию увидеть зарождение и обоснование темы, отраженной в надвратной надписи, стоит лишь прочитать платоновский диалог "Менон". Ключевая сцена его – "доказательство" того, что знание возникает в нас в результате не научения, а припоминания. Из этого следует центральный пункт платонизма: существует мир идей, находясь в котором до своего воплощения, душа приобрела свои знания. К этому основному выводу своего диалога Платон подводит с помощью геометрического доказательства. Он демонстрирует, что знания о геометрических фигурах не приобретаются, а имеются в человеке в готовом виде, и их нужно только умело извлечь.

Таким образом, первоначальной платоновской идеей была математическая идея. Поэтому нет резона удивляться надвратной надписи. Не знающий геометрии не поймет, что такое геометрическая идея, а значит, для него останется пустым звуком и понятие идеи вообще.

Обычные нематематические понятия – это как бы тени, отголоски реальных предметов, воспринимаемые нашими органами чувств. Идея сосны в нашем сознании гораздо бледнее, расплывчатое, призрачнее, чем живой образ сосны, которую мы непосредственно созерцаем. Поэтому если ограничиваться только такими идеями, то каждому ясно. что они "привязаны" к вещам, зависят от них и, не будь вещей, не было бы соответствующих идей.

Но возьмем понятие треугольника. Математический треугольник в некотором смысле обладает более четкими свойствами, чем любой конкретный треугольник, сделанный из дерева, металла и т. д. Скажем, сумма углов математического треугольника всегда точно равна 180 градусам, чего нельзя сказать про вещественный треугольник, даже про тот, который мы с помощью карандаша и линейки сверхаккуратно нарисуем на бумаге. И в первую очередь потому, что мы не в состоянии с идеальной точностью измерить углы такого треугольника – этого нам не позволит ни сам объект измерения, ни приборы и способы измерений, имеющиеся в нашем распоряжении. Отсюда и можно сделать умозрительный вывод об изначальной незаданности геометрических величин и фигур, то есть прийти к выводу о "примате" математического треугольника над материальными, которые лишь стремятся достигнуть свойств первого, но из-за сопротивления материи не могут сделать этого.

Платон обладал свойственной всем великим мыслителям жаждой цельности и последовательности, а поэтому, признав "самостоятельность жизни" математических идей, он распространил это признание на все идеи вообще.

Конечно, математика времен Платона и современная математика отличаются друг от друга, но только в том смысле, что они – ступени, одна ниже, другая выше, одного и того же процесса познания действительности путем все большего отвлечения от конкретного содержания реальных объектов. Но как бы ни меняла свой лик эта древнейшая из наук, на какую бы высоту абстрагирования она ни поднималась, своими корнями она всегда была связана с познающей и преобразующей деятельностью Человека. И в этом видится мне смысл слов, которыми Дуглас Хофстадтер заканчивает свою книгу: "...Вот почему в моей книге идеи, касающиеся работ Геделя, Эшера и Баха, выстроены в единую линию и соединены в нескончаемую золотую цепь".

...И такой же нескончаемой золотой цепью предстает перед нами старая мудрая наука Геометрия...

Мечтатели, сибиллы и пророки,
Дорогами, запретными
                           для мысли,
Проникли - вне сознания –
                           далеко,
Туда, где светят царственные
                           числа.
    Валерий Брюсов

( взято из книги К.Левитин. Геометрическая рапсодия. М. Знание, 1984, 176 с.)